4.21 4.211 4.22 4.221 4.2211 4.23 4.24 existence and non-existence of the atomic facts. The simplest proposition, the elementary proposition, asserts the existence of an atomic fact. It is a sign of an elementary proposition, that no elementary proposition can contradict it. The elementary proposition consists of names. It is a connexion, a concatenation, of names. It is obvious that in the analysis of propositions we must come to elementary propositions, which consist of names in immediate combination. The question arises here, how the propositional connexion comes to be. Even if the world is infinitely complex, so that every fact consists of an infinite number of atomatic facts and every atomic fact is composed of an infinite number of objects, even then there must be objects and atomic facts. The name occurs in the proposition only in the context of the elementary proposition. The names are the simple symbols, I indicate them by single letters (x,y,z). The elementary proposition I write as function of the names, in the form "fx”, “p(x,y)”, etc. Or I indicate it by the letters p,q,r. 4.241 If I use two signs with one and the same meaning, I express this by putting between them the sign "=". "a=b" means then, that the sign "a" is replaceable by the sign "b". (If I introduce by an equation a new sign "b", by determining that it shall replace a previously known sign "a", I write the equation-definition 4.242 4.243 4.25 4.26 4.27 4.28 4.3 der Form,,a=b Def.". Die Definition ist eine Zeichenregel.) Ausdrücke von der Form,,a=b" sind also nur Behelfe der Darstellung; sie sagen nichts über die Bedeutung der Zeichen,,a",,,b“ aus. Können wir zwei Namen verstehen, ohne zu wissen, ob sie dasselbe Ding oder zwei verschiedene Dinge bezeichnen ?-Können wir einen Satz, worin zwei Namen vorkommen, verstehen, ohne zu wissen, ob sie Dasselbe oder Verschiedenes bedeuten ? Kenne ich etwa die Bedeutung eines englischen und eines gleichbedeutenden deutschen Wortes, so ist es unmöglich, dass ich nicht weiss, dass die beiden gleichbedeutend sind; es ist unmöglich, dass ich sie nicht ineinander übersetzen kann. Ausdrücke wie „,a=a", oder von diesen abgeleitete, sind weder Elementarsätze, noch sonst sinnvolle Zeichen. (Dies wird sich später zeigen.) Ist der Elementarsatz wahr, so besteht der Sachverhalt; ist der Elementarsatz falsch, so besteht der Sachverhalt nicht. Die Angabe aller wahren Elementarsätze beschreibt die Welt vollständig. Die Welt ist vollständig beschrieben durch die Angaben aller Elementarsätze plus der Angabe, welche von ihnen wahr und welche falsch sind. Bezüglich des Bestehens und Nichtbestehens von n n Sachverhalten gibt es K1 = (") Möglichkeiten. V=0 Es können alle Kombinationen der Sachverhalte bestehen, die andern nicht bestehen. Diesen Kombinationen entsprechen ebenso viele Möglichkeiten der Wahrheit-und Falschheit-von n Elementarsätzen. Die Wahrheitsmöglichkeiten der Elementarsätze bedeuten die Möglichkeiten des Bestehens und Nichtbestehens der Sachverhalte. 4.242 4.243 4.25 4.26 4.27 4.28 4.3 -(like Russell) in the form "a=b Def.". A definition is a symbolic rule.) Expressions of the form "a = b❞ are therefore only expedients in presentation: They assert nothing about the meaning of the signs "a" and "b". Can we understand two names without knowing whether they signify the same thing or two different things? Can we understand a proposition in which two names occur, without knowing if they mean the same or different things? If I know the meaning of an English and a synonymous German word, it is impossible for me not to know that they are synonymous, it is impossible for me not to be able to translate them into one another. Expressions like "a=a", or expressions deduced from these are neither elementary propositions nor otherwise significant signs. (This will be shown later.) If the elementary proposition is true, the atomic fact exists; if it is false the atomic fact does not exist. The specification of all true elementary propositions describes the world completely. The world is completely described by the specification of all elementary propositions plus the specification, which of them are true and which false. n With regard to the existence of n atomic facts there are K2 = 2(") possibilities. It is possible for all combinations of atomic facts to exist, and the others not to exist. To these combinations correspond the same number of possibilities of the truth-and falsehood —of n elementary propositions. The truth-possibilities of the elementary propositions mean the possibilities of the existence and non-existence of the atomic facts. 4.31 Die Wahrheitsmöglichkeiten können wir durch Schemata folgender Art darstellen (,,W" bedeutet „wahr", "F",,,falsch". Die Reihen der „W" und ,,F" unter der Reihe der Elementarsätze bedeuten in leichtverständlicher Symbolik deren Wahrheitsmöglichkeiten): " 4.4 4.4I 4.4II 4.42 4.43 Der Satz ist der Ausdruck der Übereinstimmung und Nichtübereinstimmung mit den Wahrheitsmöglichkeiten der Elementarsätze. Die Wahrheitsmöglichkeiten der Elementarsätze sind die Bedingungen der Wahrheit und Falschheit der Sätze. Es ist von vornherein wahrscheinlich, dass die Einführung der Elementarsätze für das Verständnis aller anderen Satzarten grundlegend ist. Ja, das Verständnis der allgemeinen Sätze hängt fühlbar von dem der Elementarsätze ab. Bezüglich der Übereinstimmung und Nichtübereinstimmung eines Satzes mit den Wahrheitsmöglichkeiten von n Elementarsätzen gibt es Kn Σ (K2) = L, Möglichkeiten. K=0 Die Übereinstimmung mit den Wahrheitsmö 4.31 The truth-possibilities can be presented by schemata of the following kind ("T" means "true", "F""false". The rows of T's and F's under the row of the elementary propositions mean their truth-possibilities in an easily intelligible symbolism). 4.4 4.41 4.4II 4.42 4.43 A proposition is the expression of agreement and disagreement with the truth-possibilities of the elementary propositions. The truth-possibilities of the elementary propositions are the conditions of the truth and falsehood of the propositions. It seems probable even at first sight that the introduction of the elementary propositions is fundamental for the comprehension of the other kinds of propositions. Indeed the comprehension of the general propositions depends palpably on that of the elementary propositions. With regard to the agreement and disagreement of a proposition with the truthpossibilities of ʼn elementary propositions there |