y = f(x). Soit, en effet, la fonction implicite (x, y) à intégrer de o à na. On commencera par construire la courbe auxiliaire y=(x, y) par points correspondant aux abscisses o, a,

2a,

..., na, ce qui est facile, puisqu'on connaît, par la courbe proposée, les valeurs de y pour ces mêmes abscisses. La valeur de

Soit maintenant à calculer, par la méthode des trapèzes, le

volume Q=

0

0

z dx dy compris entre la surface topographique = = f(x, y) et cinq plans orthogonaux parallèles respectivement aux plans de projection. Donnons d'abord à x une

valeur constante, x=ka par exemple (fig. 6). La quadrature simple

mb

S

0

représentera l'aire Aka d'une section MNPQ parallèle au plan zy et située à la distance ka de ce plan

Si maintenant nous construisons la courbe auxiliaire des aires A en fonction de x et que nous cherchions l'aire Q entre les limites o et na, cette aire ne sera autre chose que le volume cherché; d'où

0

m

0

le symbole désignant la somme des ordonnées de la surface dont les pieds aboutissent aux points d'intersection du quadrillage formé sur le plan horizontal, entre les limites d'intégration, par les traces des sections distantes de a et de b, avec cette condition que les ordonnées des quatre coins soient divisées par 4, et que les autres ordonnées des quatre côtés soient divisées par 2 (fig. 7).

10. Application de la formule des trapézes aux courbes et surfaces. A, aire d'une courbe plane en coordonnées rectangulaires,

A', aire d'une courbe plane en coordonnées polaires,

Mox, moment de l'aire A par rapport à l'axe Ox,

Moy, moment de l'aire A par rapport à l'axe Oy,

en désignant par k le nombre entier compris entre o et n qui définit le rang de l'ordonnée.

ety, coordonnées du centre de gravité de l'aire A (fig. 8),

Iox, moment d'inertie de l'aire A par rapport à l'axe Ox,

Ioy, moment d'inertie de l'aire A par rapport à l'axe Oy,

Poxy, moment produit d'inertie de l'aire A par rapport aux axes Ox et Oy,

I., moment d'inertie polaire de l'aire A par rapport à l'origine,

I', moment d'inertie polaire de l'aire A' par rapport à l'origine,

0

Q, volume limité par une surface gauche et cinq plans orthogo

en appelant A et A' les aires des sections parallèles à Oy et à Ox. Moxy, Moyz, Mozz, moments du volume Q par rapport aux plans des xy, des ys et des xz,

en désignant par k le nombre entier, de o à n, définissant le rang de la section perpendiculaire à Ox;

en désignant par k' le nombre entier, de o à m, définissant le

rang de la section perpendiculaire à Oy.

ξ, η, ζ, coordonnées du centre de gravité du volume Q,

c, moment d'inertie de l'aire a par rapport à l'arête,

d, moment-produit d'inertie de l'aire a par rapport à l'arète et à la perpendiculaire à l'origine,

Moxy, Moxz, Moyz, moments du volume O par rapport au feuillet origine, au feuillet perpendiculaire et à la section origine,

= wa (co sin o°+ C1 sinwa + ca sin 2wa+...+1cm sin mwa);

= wa (co coso°+ C1 COS Wa + C2 COS2Wa+...+1cm cosmwa);

On peut, en modifiant un peu la méthode des trapèzes, arriver à une expression plus approchée de la grandeur de l'aire proposée.

P. ET D. I.

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